ISO 3534-1:2006 Klausa 2.24 – 2.48 adalah Standar Internasional mengenai kosakata dan simbol statistik, khususnya tentang istilah statistik umum dan istilah yang digunakan dalam probabilitas.
Artikel ini merupakan lanjutan dari artikel sebelumnya berikut :
- ISO 3534-1 istilah probabilitas statistik
- ISO 3534-1:2006 Klausa 1.1 – 1.20
- ISO 3534-1:2006 Klausa 1.21 – 1.40
- ISO 3534-1 Klausa 1.41 – 1.65
- ISO 3534-1 Klausa 2.1-2.9
- ISO 3534-1 Klausa 2.10-2.23
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.24 – 2.48
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.24 – 2.25
2.24 probability mass function : fungsi massa probabilitas
fungsi memberikan probabilitas (2,5) bahwa variabel acak (2,10) sama dengan nilai yang diberikan
Contoh 1:
Fungsi massa probabilitas yang menggambarkan variabel acak X sama dengan jumlah kepala yang dihasilkan dari pelemparan tiga koin yang adil adalah:
- P (X = 0) = 1/8
- P (X = 1) = 3/8
- P (X = 2) = 3/8
- P (X = 3) = 1/8
Contoh 2:
Berbagai fungsi massa probabilitas diberikan dalam mendefinisikan distribusi diskrit umum (2.22) yang ditemui dalam aplikasi. Contoh selanjutnya dari diskrit univariat
distribusi termasuk binomial (2,46), Poisson (2,47), hipergeometrik (2,48) dan binomial negatif (2,49). Contoh distribusi diskrit multivariat adalah multinomial (2,45).
Catatan :
- 1 : Fungsi massa probabilitas dapat diberikan sebagai P(X = xi) = pi, di mana X adalah variabel acak, xi adalah nilai yang diberikan, dan pi adalah probabilitas yang sesuai.
- 2 : Fungsi massa probabilitas diperkenalkan pada contoh p-kuantil 1 dari 2.13 menggunakan distribusi binomial (2.46).
2.25 mode of probability mass function : modus fungsi massa probabilitas
nilai di mana fungsi massa probabilitas (2.24) mencapai maksimum lokal
Contoh:
Distribusi binomial (2,46) dengan n = 6 dan p = 1/3 adalah unimodal dengan modus di 3.
- Catatan 1 : Distribusi diskrit (2.22) adalah unimodal jika fungsi massa probabilitasnya memiliki tepat satu mode, bimodal jika fungsi massa probabilitasnya memiliki tepat dua mode dan multi-modal jika fungsi massa probabilitasnya memiliki lebih dari dua mode.
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.26 – 2.27
2.26 probability density function (f(x)) : fungsi kepadatan probabilitas
fungsi non-negatif yang ketika diintegrasikan dari ke x memberikan fungsi distribusi (2.7) dievaluasi pada x dari distribusi kontinu (2.23)
Contoh :
- 1: Berbagai fungsi kepadatan probabilitas diberikan dalam mendefinisikan distribusi probabilitas umum yang ditemui dalam praktik. Contoh selanjutnya meliputi normal (2,50), normal standar (2,51), t (2,53), F (2,55), gamma (2,56), khi-kuadrat (2,57), eksponensial (2,58), beta (2,59), seragam (2,60 ), multivariat normal (2,64) dan distribusi normal bivariat (2,65).
- 2: Untuk fungsi distribusi yang didefinisikan oleh F(x) = 3×2 2×3 di mana 0 x 1, fungsi kepadatan probabilitas yang sesuai adalah f(x) = 6x(1 x) di mana 0 x 1.
- 3: Melanjutkan contoh baterai 2.1, tidak ada fungsi kepadatan probabilitas yang terkait dengan fungsi distribusi yang ditentukan, karena probabilitas positif dari hasil nol. Namun, distribusi bersyarat yang diberikan bahwa baterai pada awalnya berfungsi memiliki f(x) = exp(−x) untuk x > 0 sebagai fungsi kepadatan probabilitasnya, yang sesuai dengan distribusi eksponensial.
Catatan :
- 1 : Jika fungsi distribusi F terdiferensialkan secara kontinu, maka fungsi kerapatan probabilitas adalah f(x) = dF(x)/dx
di titik x di mana turunan ada.
- 2 : Sebuah plot grafis f(x) versus x menunjukkan deskripsi seperti simetris, memuncak, ekor berat, unimodal, bi-modal dan sebagainya. Plot dari f(x) pas yang dihamparkan pada histogram memberikan penilaian visual tentang kesepakatan antara distribusi pas dan data.
- 3 : Singkatan umum dari fungsi kepadatan probabilitas adalah pdf.
2.27 mode of probability density function : modus fungsi kepadatan probabilitas
nilai di mana fungsi kepadatan probabilitas (2,26) mencapai maksimum lokal
Catatan :
- 1 : Distribusi kontinu (2.23) adalah unimodal jika fungsi kepadatan probabilitasnya memiliki tepat satu mode, bimodal jika fungsi kepadatan probabilitasnya memiliki tepat dua mode dan multi-modal jika fungsi kepadatan probabilitasnya memiliki lebih dari dua mode.
- 2 : Distribusi di mana mode merupakan himpunan terhubung juga dikatakan unimodal.
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.28 – 2.33
2.28 discrete random variable : variabel acak diskrit
variabel acak (2.10) memiliki distribusi diskrit (2.22)
- Catatan 1 : Variabel acak diskrit yang dipertimbangkan dalam bagian ISO 3534 ini mencakup variabel acak binomial (2,46), Poisson (2,47), hipergeometrik (2,48) dan multinomial (2,45).
2.29 continuous random variable : variabel acak kontinu
variabel acak (2.10) memiliki distribusi kontinu (2.23)
Catatan :
- 1 : Variabel acak kontinu yang dipertimbangkan dalam bagian ISO 3534 ini termasuk normal (2,50), normal standar (2,51), distribusi t (2,53), distribusi F (2,55), gamma (2,56), chi-kuadrat (2,57), eksponensial (2,58), beta (2,59), seragam (2,60), nilai ekstrim Tipe I (2,61), nilai ekstrim Tipe II (2,62), nilai ekstrim Tipe III (2,63), lognormal (2,52), normal multivariat (2,64) dan bivariat normal (2,65).
2.30 centred probability distribution : distribusi probabilitas terpusat
distribusi probabilitas (2.11) dari variabel acak terpusat (2.31)
2.31 centred random variable
variabel acak terpusat
variabel acak (2,10) dengan meannya (2,35) dikurangi
Catatan :
- 1 : Variabel acak terpusat memiliki rata-rata sama dengan nol.
- 2 : Istilah ini hanya berlaku untuk variabel acak dengan rata-rata. Misalnya, rata-rata distribusi t (2,53) dengan satu derajat kebebasan tidak ada.
- 3 : Jika variabel acakX memiliki mean (2,35) sama dengan , variabel acak terpusat yang sesuai adalah X , memiliki mean sama dengan nol.
2.32 standardized probability distribution : distribusi probabilitas standar
distribusi probabilitas (2.11) dari variabel acak standar (2.33)
2.33 standardized random variable : variabel acak standar
variabel acak terpusat (2,31) yang standar deviasinya (2,37) sama dengan 1
Catatan :
- 1 : Variabel acak (2.10) secara otomatis distandarisasi jika meannya nol dan simpangan bakunya adalah 1. Distribusi seragam (2.60) pada interval (− 30,5, 30,5) memiliki mean nol dan standar deviasi sama dengan 1. Distribusi normal standar (2,51), tentu saja, standar.
- 2 : Jika distribusi (2.11) dari variabel acak X memiliki mean (2.35) dan simpangan baku , maka variabel acak standar yang sesuai adalah (X ) /σ.
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.34 – 2.35.1
2.34 moment of order r : momen orde r
rth moment : momen ke-r
harapan (2.12) dari kekuatan ke-r dari variabel acak (2.10)
CONTOH:
Pertimbangkan variabel acak yang memiliki fungsi kepadatan probabilitas (2,26)f(x) = exp(−x) untuk x > 0. Dengan menggunakan integrasi bagian dari kalkulus dasar, dapat ditunjukkan bahwa E(X) = 1, E(X2) = 2, E(X3) = 6, dan E(X4) = 24, atau secara umum, E(Xr) = r! Ini adalah contoh distribusi eksponensial (2,58).
Catatan :
- 1 : Dalam kasus diskrit univariat, rumus yang sesuai adalah:
untuk sejumlah n hasil dan
untuk jumlah hasil yang tak terbatas. Dalam kasus kontinu univariat, rumus yang sesuai adalah:
- 2 : Jika variabel acak memiliki dimensi k, maka pangkat ke-r dipahami diterapkan secara komponen.
- 3 : Momen yang diberikan di sini menggunakan variabel acak X yang dipangkatkan. Secara lebih umum, kita dapat mempertimbangkan momen orde r dari X atau (X )/σ.
2.35 Means : Rata-rata
2.35.1 mean (μ) : Rata-rata
momen orde r = 1
momen orde r di mana r sama dengan 1, dihitung sebagai integral dari produk x dan fungsi kerapatan probabilitas (2,26), f(x), di atas garis nyata
Contoh :
- 1: Pertimbangkan variabel acak kontinu (2.29)X yang memiliki fungsi kepadatan probabilitas f(x) = 6x(1 x), di mana 0 x 1. Rata-rata dari X adalah:
- 2: Melanjutkan contoh baterai dari 2.1 dan 2.7, rata-ratanya adalah 0,9 karena dengan probabilitas 0,1 rata-rata bagian distribusi yang diskrit adalah 0 dan dengan probabilitas 0,9 rata-rata bagian distribusi yang kontinu adalah 1 Distribusi ini merupakan campuran dari distribusi kontinu dan diskrit.
Catatan :
- 1 : Rata-rata distribusi kontinu (2.23) dilambangkan dengan E(X) dan dihitung sebagai:
- 2 : Mean tidak ada untuk semua variabel acak (2.10). Sebagai contoh, jika X didefinisikan oleh fungsi kerapatan probabilitasnya f(x) = [π(1 + x2)]−1, integral yang sesuai dengan E(X) adalah divergen.
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.35.2 – 2.37
2.35.2 mean (μ) : Rata-rata
penjumlahan hasil kali xi dan fungsi massa probabilitas (2.24)p(xi)
Contoh 1:
Pertimbangkan variabel acak diskritX (2.28) yang mewakili jumlah kepala yang dihasilkan dari pelemparan tiga koin yang adil. Fungsi massa peluang adalah
- P(X = 0) = 1/8
- P (X = 1) = 3/8
- P (X = 2) = 3/8
- P (X = 3) = 1/8
Jadi, rata-rata dari X adalah
0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8) = 12/8 = 1,5
Contoh 2:
Lihat Contoh 2 di 2.35.1.
- Catatan 1 : Rata-rata dari distribusi diskrit (2.22) dilambangkan dengan E(X) dan dihitung sebagai:
untuk sejumlah hasil yang terbatas, dan
untuk jumlah hasil yang tak terbatas.
2.36 variance (V) : perbedaan
momen keteraturan (2,34) di mana r sama dengan 2 dalam distribusi probabilitas terpusat (2,30) dari variabel acak (2,10)
Contoh :
- 1: Untuk variabel acak diskrit (2.28) pada contoh 2.24 variansnya adalah
- 2: Untuk variabel acak kontinu (2.29) pada Contoh 1 dari 2.26, variansnya adalah
- 3: Untuk contoh baterai 2.1, varians dapat ditentukan dengan mengakui bahwa varians X adalah E(X2) [E(X)]2. Dari Contoh 3 dari 2.35, E(X) = 0,9. Menggunakan tipe argumen pengkondisian yang sama, E(X2) dapat ditunjukkan menjadi 1,8. Jadi, varians dari X adalah 1,8 (0,9)2 sama dengan 0,99.
Catatan :
- 1 : Varians dapat secara ekuivalen didefinisikan sebagai ekspektasi (2,12) dari kuadrat variabel acak dikurangi meannya (2,35). Varians dari variabel acak X dilambangkan dengan V(X) = E{[X−E(X)]2}.
2.37 standard deviation (σ) : simpangan baku
akar kuadrat positif dari varians (2,36)
CONTOH:
Untuk contoh baterai 2.1 dan 2.7, standar deviasinya adalah 0,995.
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.38 – 2.39
2.38 coefficient of variation (CV) : koefisien variasi
simpangan baku (2,37) dibagi rata-rata (2,35)
Contoh:
Untuk contoh baterai 2.1 dan 2.7, koefisien variasinya adalah 0,99/0,995 yang sama dengan 0,994 97.
Catatan :
- 1 : Koefisien variasi biasanya dilaporkan sebagai persentase.
- 2 : Istilah pendahulunya “deviasi standar relatif” tidak digunakan lagi oleh istilah koefisien variasi.
2.39 coefficient of skewness (γ1) : koefisien kemiringan
momen orde 3 (2,34) dalam distribusi probabilitas standar (2,32) dari variabel acak (2,10)
Contoh:
Melanjutkan dengan contoh baterai 2.1 dan 2.7 yang memiliki distribusi diskrit kontinu campuran, kita memiliki, dengan menggunakan hasil dari contoh di 2.34,
- E(X) = 0,1(0) + 0,9(1) = 0,9
- E (X2) = 0,1(02) + 0,9(2) = 1,8
- E(X3) = 0,1(0) + 0,9(6) = 5,4
- E (X4) = 0,1(0) + 0,9(24) = 21,6
Untuk menghitung koefisien kemiringan, perhatikan bahwa E {[X− E(X)]3} = E(X3) 3 E(X) E(X2) + 2 [E(X)]3 dan dari 2.37 standar simpangan adalah 0,995.
Koefisien kemiringannya adalah [5,4 3(0,9)(1,8) + 2(0,9)3]/(0,995)3 atau 1,998.
Catatan :
- 1 : Definisi yang setara didasarkan pada ekspektasi (2.12) dari pangkat tiga (X−μ)/σ, yaitu E[(X−μ)3/σ3].
- 2 : Koefisien kemiringan adalah ukuran simetri distribusi (2.11) dan kadang-kadang dilambangkan dengan
Untuk distribusi simetris, koefisien skewness sama dengan 0 (asalkan momen yang tepat dalam definisi ada). Contoh distribusi dengan skewness sama dengan nol meliputi distribusi normal (2,50), distribusi beta (2,59) dengan = dan distribusi t (2,53) asalkan momen-momennya ada.
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.40 – 2.43
2.40 coefficient of kurtosis (β2) : koefisien kurtosis
momen orde 4 (2,34) dalam distribusi probabilitas standar (2,32) dari variabel acak (2,10)
Contoh:
Melanjutkan contoh baterai 2.1 dan 2.7, untuk menghitung koefisien kurtosis, perhatikan bahwa:
E{[X-E(X)]4} = E(X 4) 4 E (X) E(X 3) + 6[E(X)]2 E(X 2) 3 [E(X)]4
Koefisien kurtosis dengan demikian
[21,6 4(0,9)(5,4) + 6(0,9)2(2) 3(0,9)4]/(0,995)4 atau 8,94.
Catatan :
- 1 : Definisi yang setara didasarkan pada ekspektasi (2.12) dari pangkat empat dari (X )/σ, yaitu E[(X )4/σ4].
- 2 : Koefisien kurtosis adalah ukuran berat dari ekor distribusi (2.11). Untuk distribusi seragam (2,60), koefisien kurtosis adalah 1,8; untuk distribusi normal (2,50), koefisien kurtosis adalah 3; untuk distribusi eksponensial (2,58), koefisien kurtosis adalah 9.
- 3 : Perhatian perlu dilakukan dalam mempertimbangkan nilai kurtosis yang dilaporkan, karena beberapa praktisi mengurangi 3 (kurtosis dari distribusi normal) dari nilai yang dihitung dari definisi.
2.41 joint moment of orders r and s : momen gabungan orde r dan s
rata-rata (2.35) dari produk pangkat ke-r dari variabel acak (2.10) dan pangkat ke-s dari variabel acak lain dalam distribusi probabilitas gabungannya (2.11)
2.42 joint central moment of orders r and s : momen pusat gabungan orde r dan s
rata-rata (2,35) dari produk pangkat ke-r dari variabel acak terpusat (2,31) dan pangkat ke-s dari variabel acak terpusat lainnya dalam distribusi probabilitas gabungannya (2.11)
2.43 covariance (σXY) : kovarians
mean (2,35) dari hasil kali dua variabel acak terpusat (2,31) dalam distribusi probabilitas gabungannya (2.11)
Catatan :
- 1 : Kovarians adalah momen pusat gabungan dari orde 1 dan 1 (2.42) untuk dua variabel acak.
- 2 : Secara notasi, kovariansnya adalah
E[(X−μX)(Y−μY)],
dimana E(X) = X dan E(Y) = Y.
Klausa 2.44 – 2.46
2.44 correlation coefficient : koefisien korelasi
rata-rata (2,35) dari produk dari dua variabel acak standar (2,33) dalam distribusi probabilitas gabungan mereka (2.11)
- Catatan 1 : Koefisien korelasi kadang-kadang lebih singkat disebut sebagai korelasi sederhana. Namun, penggunaan ini tumpang tindih dengan interpretasi korelasi sebagai hubungan antara dua variabel.
2.45 multinomial distribution : distribusi multinomial
distribusi diskrit (2.22) memiliki fungsi massa probabilitas (2.24)
di mana
x1, x2, …, xk adalah bilangan bulat non-negatif sehingga
x1 + x2 + … + xk= n dengan parameter pi> 0 untuk semua i = 1, 2, …, k dengan p1 + p2 + … + pk= 1
k bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan 2
- Catatan 1 : Distribusi multinomial memberikan probabilitas berapa kali masing-masing k hasil yang mungkin terjadi dalam n percobaan independen di mana setiap percobaan memiliki k kejadian yang sama dan peluang kejadiannya sama untuk semua percobaan.
2.46 binomial distribution : distribusi binomial
distribusi diskrit (2.22) memiliki fungsi massa probabilitas (2.24)
dimana x = 0, 1, 2, …, n dan dengan parameter pengindeksan n = 1, 2, …, dan 0 < p < 1.
Contoh:
- Fungsi massa probabilitas yang dijelaskan dalam Contoh 1 dari 2.24 dapat dilihat sesuai dengan distribusi binomial dengan parameter indeks n = 3 dan p = 0,5.
Catatan :
- 1 : Distribusi binomial adalah kasus khusus dari distribusi multinomial (2,45) dengan k = 2.
- 2 : Distribusi binomial memberikan probabilitas berapa kali masing-masing dari dua hasil yang mungkin terjadi dalam n percobaan independen di mana setiap percobaan memiliki dua kejadian yang sama (2.2) dan probabilitas (2.5) dari kejadiannya adalah sama untuk semua percobaan.
- 3 : Rata-rata (2,35) dari distribusi binomial sama dengan np. Varians (2,36) dari distribusi binomial sama dengan np(1 p).
- 4 : Fungsi massa probabilitas binomial dapat dinyatakan secara bergantian menggunakan koefisien binomial yang diberikan oleh
Klausa 2.47 – 2.48
2.47 Poisson distribution : distribusi Poisson
distribusi diskrit (2.22) memiliki fungsi massa probabilitas (2.24)
dimana x = 0, 1, 2, … dan dengan parameter > 0.
Catatan :
- 1 : Batas distribusi binomial (2,46) saat n mendekati dan p cenderung nol sedemikian rupa sehingga np cenderung adalah distribusi Poisson dengan parameter .
- 2 : Mean (2,35) dan varians (2,36) dari distribusi Poisson keduanya sama dengan .
- 3 : Fungsi massa probabilitas (2.24) dari distribusi Poisson memberikan probabilitas untuk jumlah kemunculan properti dari suatu proses dalam interval waktu satuan panjang yang memenuhi kondisi tertentu, mis. intensitas kejadian tidak tergantung waktu.
2.48 hypergeometric distribution : distribusi hipergeometrik
distribusi diskrit (2.22) memiliki fungsi massa probabilitas (2.24)
di mana maksimum(0, M N) x≤ minimum(M, n) dengan parameter bilangan bulat
- N = 1, 2, …
- M = 0, 1, 2, …, N 1
- n = 1, 2, …, N
Catatan :
- 1 : Distribusi hipergeometrik (2.11) muncul sebagai jumlah item bertanda dalam sampel acak sederhana (1.7) berukuran n, diambil tanpa pengembalian, dari populasi (atau lot) berukuran N yang berisi tepat M item bertanda.
- 2 : Pemahaman tentang distribusi hipergeometrik dapat difasilitasi dengan Tabel 4.
Tabel 4 — Contoh distribusi hipergeometrik
| Reference set | Marked or unmarked items | Marked items | Unmarked items |
| Population | N | M | N − M |
| Items in sample | n | x | N − x |
| Items not in sample | N − n | M − x | N − n – M + x |
- 3 : Dalam kondisi tertentu (misalnya, n relatif kecil terhadap N), distribusi hipergeometrik dapat didekati dengan distribusi binomial dengan n dan p = M/N.
- 4 : Rata-rata (2,35) dari distribusi hipergeometrik sama dengan (nM)/N. Varians (2,36) dari distribusi hipergeometrik sama dengan
ISO 3534-1:2006 Klausa 2.49
Dikarenakan isi Klausa 1 dan 2 ini terlalu panjang, maka pembaca bisa melanjutkan ke artikel lanjutan dari standarku.com berikut :
- ISO 3534-1 Klausa 2.49 – 2.70
Penutup
Demikian artikel dari standarku.com mengenai Standar ISO 3534-1:2006.
Mohon saran dari pembaca untuk kelengkapan isi artikel ini, silahkan saran tersebut dapat disampaikan melalui kolom komentar.
Baca artikel lain :
- International Organization for Standardization
- Memahami apa itu Standar ISO
- Memahami Standard atau Standar
Sumber referensi :